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Tout endomorphisme admet au moins une valeur propre

Un endomorphisme sans valeur propre

Exercices corrigés -Réduction des endomorphismes

  1. introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes. Notations. K est un corps. Dans les exemples de ce chapitre, K sera R ou C. Les matrices seront des éléments de Mn(K), c'est-à-dire des matrices carrées, de taille n n, à coefficients dans K. 1. Valeurs propres et vecteurs propres 1.1. Motivation Voici deux transformations simples définies par une matrice : 1. h: x y 7.
  2. 2) On admet que tout endomorphisme de ℝ3 admet au moins une valeur propre réelle. Montrer, en utilisant l'égalité obtenue à la question 1), que 0 est la seule valeur propre réelle de f. Dans la suite, on se propose de montrer qu'il existe une base de ℝ3 dans laquelle la matrice de f est de la forme : 0 α 0 α 0 0 0 0 0
  3. Si E est un C-espace de dimension finie non nulle, tout endomorphisme de E admet au moins une valeur propre. Toute matrice carrée admet au moins une valeur propre dans C. Vecteurs propres. E est un K-espace vectoriel de dimension quelconque
  4. Tout endomorphisme sur un C-espace vectoriel admet au moins une valeur propre. Soit λ une valeur propre de u. Eλ (u) est un sous-espace vectoriel stable par v (car u ◦ v = v ◦ u) et l'endomorphisme induit par v sur Eλ (u) admet au moins une valeur propre. Un vecteur propre associé à celle-ci est vecteur propre commun à u et v

  1. Soit un -espace vectoriel et soit un endomorphisme de ., est une valeur propre de si et seulement si :. Si E est de dimension finie, l'ensemble des valeurs propres de est appelé spectre de u noté . C'est donc l'ensemble des scalaires tels que l'application ne soit pas injective (autrement dit son noyau n'est pas restreint au vecteur nul). Si est de dimension , alors possède au plus valeurs.
  2. Soit u un endomorphisme sym´etrique de E. D'apr`es (ii), u admet au moins une valeur propre r´eelle λ. Soit e1un vecteur propre unitaire associ´e a λ. Soit F = (Vect(e1))⊥. Vect(e1) ´etant un sous espace vectoriel stable par u, F est aussi stable par u (voir paragraphe pr´ec´edent)
  3. imal qui admet au moins une racine dans ℂ qui est alors valeur propre de f. (b) Si λ est valeurs propre de l'endomorphisme considéré alors il existe un polynôme P non nul tel que X ⁢ P ⁢ (X) = (1 + λ) ⁢ P ⁢ (X) ce qui est impossible pour des raisons de degré. Exercice 2 5158 . Soit u un endomorphisme d'un ℂ-espace.
  4. Dans un -espace vectoriel de dimension finie , tout endomorphisme admet au moins une valeur propre. Le triangulaire supérieure (n'admettant pas pour valeur propre). Une vérification immédiate révèle alors que est représenté par la matrice suivante (est nilpotente d'indice de nilpotence ): On en déduit donc que le rang de est (rappelons que n'est pas valeur propre de ). On a donc.
  5. A admet donc au moins une racine dans K. Considerons un vecteur propre´ e dans Kn associe´ `a la valeur propre . Completons le vecteur´ e en une base B= (e;e 2;:::;e n) de Kn. Soit u A l'endomorphisme de Knassocie´ a la matrice` A, i.e., l'endomorphisme d´efini, pour tout vecteur x de Kn, par u A(x) = Ax. On a u A(e) = Ae = e; CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION DES.
  6. L'endomorphisme induit par fsur un sous-espace propre Fassoci e a la valeur propre 2K est Id F: (b)Montrer que si fadmet un sous-espace propre de dimension au moins egale a 2 alors il existe une in nit e de droites de Estables par f. R eponse : Soit Fun sous-espace stable de fde dimension au moins 2. Soit (u;v) une famille libre de F. On v.

Valeurs propres, vecteurs propres - Fre

Définition 3.1 : valeur et vecteur propre d'une matrice carrée, spectre d'une matrice carrée Théorème 3.1 : comparaison des spectres réels et complexes Définition 3.2 : polynôme caractéristique d'une matrice carrée Théorème 3.2 : lien entre valeurs propres d'un endomorphisme et d'une matrice 4. Diagonalisation des. Voilà une propriété que je n'arrive pas à établir: Soit E un -ev Soit p L(E). p symétrique Ce qui je suppose revient à montrer que tout endomorphisme symétrique admet au moins une valeur propre. Posté par hulk (invité) re : Endomorphismes symétriques et propriétés 01-06-06 à 18:10. Si E est de dimension finie,c'est facile. Tu remarques que le polynome caractéristique de p est. 2. Sous-espaces stables et vecteurs propres (a)Montrer que tout sous-espace engendr e par une famille de vecteurs propres de fest stable par f. Pr eciser l'endomorphisme induit par fsur tout sous-espace propre de f. (b)Montrer que si fadmet un sous-espace propre de dimension au moins egale a 2 alors il existe une in nit e de droites de. Bonjour tout le monde, j'ai besoin d'aide avec un petit exercice , Soit E un R espace Vectoriel de dimension finie n impaire et soit qui appartient à R* et soient f et g deux endomorphismes de E vérifiant : 1/Montrer que g admet au moins une valeur propre réelle k je sais que g admet une valeur propore réélle k par définition : il existent u appartenant à E tel que f(u)=ku j'ai essayé.

I.C.1) Montrer que tout sous-espace engendré par une famille de vecteurs propres de f est stable par f. Préciser l'endomorphisme induit par f sur tout sous-espace propre de f. I.C.2) Montrer que si f admet un sous-espace propre de dimension au moins égale à 2 alors il existe une infinité de droites de E stables par f dimension impaire u admet une valeur propre réelle or si est une valeur propre, x 0 telque u(x)= x et en appliquant l'énnocé on obtient que ^2 =-1 bon en fin je veut savoir ce que le résultat que j'ai utiliser est vari ou pas ça sera bien si me donner son énnocé plus clair MERCI Posté par . dadou re : dimension 12-07-06 à 18:25. Bonjour, en effet, si la dimension n est impaire alors.

3) Si u est un endomorphisme nilpotent, sa seule valeur propre est 0. 3. Valeurs propres d'un polynôme en u Prop 3 : Soit x r un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ. 1) Pour tout entier k positif, on a : uk (x) k x r r =λ. 2) Pour tout polynôme P, on a : P u (x)P()x r r ( ) = λ, et donc P(λ) est une valeur propre de P(u) Si K est algébriquement clos, ou encore si K est R le corps des nombres réels et n est impaire, alors u possède au moins une valeur propre. Dire qu'un corps est algébriquement clos, c'est dire que tout polynôme non constant admet au moins une racine. Cette racine est nécessairement une valeur propre, d'après le premier point ci-dessus. D. Le cas le plus simple est celui où le corps est algébriquement clos, c'est-à-dire que tout polynôme non constant admet au moins une racine. C'est le cas des nombres complexes. Alors la réduction est particulièrement efficace. La notion de valeur propre devient le bon outil dans ce contexte On dit que est une valeur propre de Msi et seulement siil existe au moins un vecteur colonne X 0 non nul tel que MX 0 = X 0. Un tel vecteur X 0 est appel e vecteur propre de Mpour la valeur propre . L'ensemble des valeurs propres eventuelles de M dans R est appel e le spectre de M dans R, et est not e Sp(M). Exemple 1.11 Remarque 1.12 Propri.

Lemme 1.9 Tout endomorphisme symétrique de E admet (au moins) une valeur propre. ThØorŁme 1.10 Soit u un endomorphisme symétrique de E. Les sous-espaces propres de u sont supplémentaires orthogonaux. De manière équivalente, il existe une base orthonormale de E dans laquelle u est représenté par une matrice diagonale. r Année 2019/2020 Endomorphismes et matrices symétriques - 3 1.3. Lemme 1.9 Tout endomorphisme symétrique de E admet (au moins) une valeur propre. ThØorŁme 1.10 Soit u un endomorphisme symétrique de E. Les sous-espaces propres de u sont supplémentaires orthogonaux. De manière équivalente, il existe une base orthonormale de E dans laquelle u est représenté par une matrice diagonale. r Année 2018/2019 Endomorphismes et matrices symétriques - 3 1.3.

Valeur propre (synthèse) — Wikipédi

Exercice 2 Au moins une racine d'un polynomˆ e annulateur non nul est valeur propres . Soient A une matrice de Mn(C) et P un polynome annulateur non nul de A. Montrer que l'une au moins des racines de P est une valeur propre de A. Exercice 3 Existence d'une valeur propre pour matrice `a coefficients complexes Les notions de vecteur propre, de valeur propre, et de sous-espace propre s'appliquent à des endomorphismes (ou opérateurs linéaires), c'est-à-dire des applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même. Elles sont intimement liées, et forment un pilier de la réduction des endomorphismes, partie de l'algèbre linéaire qui vise à décomposer de la manière la plus efficace. remarque : si K est algébriquement clos, tout endomorphisme de E a au moins une valeur propre ; matrices compagnes, endomorphismes cycliques : si P=X n ­( Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable Déterminant d'un endomorphisme. est toujours un -espace vectoriel de dimension finie sur un corps de caractéristique différente de deux. On appelle groupe spécial linéaire de l'ensemble des endomorphismes de de déterminant ; on le note.

(iii) Tout polynôme non constant à coefficients réels admet au moins une racine complexe. une racine λ. Il s'agit d'une valeur propre de a. En remarquant que l'espace orthogonal F à l'espace propre de valeur propre λ est stable par a on comprend que l'endomorphisme est diagonalisable. En effet, il suffit d'appliquer maintenant la même réduction à la restriction de a à F, qui est. vecteurs propres ne sont pas tous associés à la valeur propre 0car fn'est pas l'endomorphisme nul. : fadmet au moins une autre valeur propre non nulle. 2. Les sous-espaces propres sont orthogonaux a. Tout cela est du cours : soit xun élément de Ef(λ)et yun élément de Ef(µ): f(x)=λxet f(y)=µy Bonjour, Quand on parle d'un endomorphisme d'un R-espace vectoriel, je sais que ses valeurs propres sont par définition forcément réelles (même si son polynôme caractéristique est par exemple , on ne dit pas que i et -i sont valeurs propres). Par contre, j'ai l'impression qu'on se gène un peu moins pour dire qu'une matrice de admet des valeurs propres non réelles, sans préciser dans.

PC* 2018-2019 Réduction des Endomorphismes exercices utilisant très peu le polynôme caractéristique. 1) a) Soit u ∈L(E) , F et G deux sous-espaces supplémentaires de E stables par u.On note f et g les endomorphismes induits par u respectivement à F et G.Montrer que pour tout scalaire λ : Ker(u−λidE)=Ker(f −λidF)⊕Ker(g−λidG) b) En déduire que si λ est une valeur propre de. Ces endomorphismes admettant chacun (n + 1) valeurs propres distinctes dans un espace de dimension (n+1), ils sont tous deux diagonalisables. 3. a. Puisque χu est un polynôme à coefficients complexes, il admet au moins une racine (pourvu que la dimension de l'espace vectoriel ne soit pas nul), et u admet au moins une valeur propre. b. Puisque u et v commutent, les sous-espaces propres de.

4) On admet que tout endomorphisme de R2p+1 admet au moins une valeur propre r´eelle. On suppose que nest impair. Montrer qu'il existe λ 0 tel que f= λ 0Id. Solution : 1) i) =⇒ ii) Pour tout vecteur xde E, on a : kg(x)k2 = hg(x),g(x)i = hx,xi = kxk2 Donc la conservation du produit scalaire entraˆıne celle de la norme. ii) =⇒ i) Comme. (i) tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre; (ii) deux endomorphismes commutables de E possèdent au moins un vecteur propre commun. On se propose de montrer cette propriété par récurrence sur l'entier naturel k. La propriété P 0 vient d'être établie dans la section précédente. Soit donc k 2N et supposons la. Plus précisément, pour toute matrice symétrique réelle, il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale réelle telles que. Lemme 2 Tout endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel euclidien admet au moins une valeur propre réelle 6. Si est une valeur propre de A, les vecteurs propres pour la valeur propre sont les solutions non nulles du systeme lin` eaire homog´ ene` (A I)X = 0. On sait que A possede des valeurs propres et qu'en r` esolvant ce syst´ eme par la m` ethode du pivot,´ on pourra trouver des vecteurs propres pour faire les colonnes de P Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle. Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3 (isométries vectorielles admettant trois valeurs propres réelles) Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle . Liste des isométries vectorielles (définitions) Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien.

Réduction des endomorphismes et des matrices 0) Rappels a. publicité. moins une valeur propre strictement négative mais A ne peut avoir une unique valeur propre négative car alors det(A)< 0 ce qui n'est pas. Donc A admet au moins deux valeurs propres λ i et λ j, i 6= j, strictement négative (avec éventuellement λ i =λ j). Les vecteurs e i et e j sont deux vecteurs linéairement indépendants associés à des valeurs propres strictement négatives. b.

Réduction des matrices - sorbonne-universit

Video: Math spé : Exercices sur la réduction d'endomorphisme

au vecteur nul. Soit alors ‚ l'unique valeur propre de u (sur C, un endomorphisme possµede toujours au moins une valeur propre). On remarque alors que Ker(u¡‚Id) est de dimension 1, car sinon pour x1 et x2 des vecteurs propres non colin¶eaires, W = Cx1 et W0 = Cx2 auraient une intersection r¶eduite vecteur nul. On en d¶eduit donc que u admet un unique facteur invariant ¶egal µa. Supposons que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension admet au moins une racine . Comme est une valeur , qui est donc l'unique valeur propre de . On peut déjà en déduire que n'est pas. 1) a) Montrer que tout polynˆome de R[X] de degr´e impair admet au moins une racine r´eelle. b) Montrer que tout endomorphisme d'un espace vectoriel sur Rde dimension impaire admet au moins un vecteur propre. 2) Soit u un endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien. Montrer que toute valeur propre (r´eelle) α de u v´erifie n(C), ou encore tout endomorphisme fd'un C-e.v. de dimension n 1, admet au moins une valeur propre. D e nition 2.12 Soient fun endomorphisme de Rn, Mune matrice de M n(R), et un el ement de R. On dit que est une valeur propre de M (resp. de f), avec la multiplicit e k(1 k n), si est racine de ~ˇ M (resp. de ~ˇ f), avec la multiplicit e k

Existence de valeur propre sur C - studylibfr

(5)Si 2Sp(f), on appelle sous-espace propre de fassocié à la valeur propre le sous-espace ker(f Id), souvent noté E . Si 2ket x2Enf0g, c'est donc la même chose de dire que est une aleurv propre de vecteur propre x, ou que xest un vecteur propre associé à la aleurv propre . Observons que l'endomorphisme f I Si λ est une valeur propre d'un endomorphisme u, alors un vecteur propre est un vecteur non nul qui a pour image 0 par l'application u - λ.Id, où Id désigne l' application identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :) Attention, ceci est une page de démonstration de mathprepa.fr Vous pouvez dévoiler le corrigé (après avoir réfléchi à votre propre solution bien sûr ) ou le cacher à nouveau (pour chercher à partir des indications que vous venez de lire ) Les 1500 exercices du site sont présentés avec un énoncé visible de tous, mais un corrigé (masquable/affichable) Read More

tout endomorphisme de E admet au moins une valeur pr opr es. ce n'est pas vrai en dimension nie. Ex: u(P) = XP dans C[X]. Prop osition 1.6 Si F est un sous-esp ac e ve ctoriel de E stable p ar f ∈ L(E), i.e. f(F) ⊂ F alors le olynôme c ar actéristique χ f F de f F divise le p olynôme acté-ristique χf de f. Dé nition 1.7 On app el le multiplicité algébrique de λ ∈ σ(f), sa. R´eduction des endomorphismes 1.1.5. Valeurs propres d'une matrice D´efinition Soient M une matrice de M n(IK) et λ un ´el´ement de K. On dit que λ est une valeur propre de M s'il existe existe au moins un vecteur colonne U non nul tel que MU = λU. Un tel vecteur est appel´e vecteur propre de M pour la valeur propre λ. L'ensemble des valeurs propres ´eventuelles de M dans IK. Vrai-Faux 2 Soit une matrice de taille et une de ses valeurs propres. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 0 est valeur propre de .; 0 et sont valeurs propres de . est valeur propre de .Le rang de la matrice est égal à .; L'ensemble des solutions du système n'est pas réduit au vecteur nul Th : Tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien a des valeurs propres réelles et est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres ( E est somme directe orthogonale des sous espaces propres de u ) Dem : ⊙ Le polynôme caractéristique de u est scindé sur ℂ, il existe donc toujours une valeur propre complexe λ Soit x un vecteur propre ( dont les coordonnées.

Valeur_propre_(synthèse) : définition de Valeur_propre

pr´ec´edente, il admet au moins une racine r´eelle. Or on sait que toute racine du polynˆome caract´eristique est valeur propre: l'endomorphisme admet donc au moins une valeur propre et avec elle au moins une droite de vecteurs propres. 3) Soit α valeur propre de u et x non nul vecteur propre associ´e. Comme u conserve les distances, kxk voir dans la vidéo précédente on avait vu comment trouver les valeurs propres les vecteurs propres associés à une matrice de 2 et dans cette vidéo on va essayer de faire la même chose aurait claqué un petit peu plus compliqué parce qu'on va prendre notre histoire 3 ce qu'on a vu dans les vidéos précédentes c'est que le mandat c'est une valeur propre il est une valeur propre si et. Tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension finie admet au moins un polynôme annulateur non nul. 4.3 Utilisation d'un polynôme annulateur. Théorème Si Q est un polynôme annulateur de u et une valeur propre de u, alors est racine de Q. c'est à dire que : 2Sp(u) =)Q( ) = 0 Attention toutefois, la réciproque est fausse

Existence de valeurs propres dans un espace complex

Remarquons que tout vecteur propre de u pour la valeur propre est un vecteur propre de P(u) pour la valeur propre P(). Le rapport du jury note pêle-mêle pour cette question que : · il est important de préciser qu'un vecteur propre est non nul ; · on rencontre trop souvent P(u(x)) ou P(x), ce qui n'a pas de sens pour P polynôme et x vecteur. 2.a Considérons une valeur propre R de l. Montrer que, pour tout réel (, l'endomorphisme (( admet la valeur propre ( - 1 et qu'on peut trouver un vecteur f3 de . R3. ne dépendant pas de (, qui soit, pour tout réel (, vecteur propre de (( associé à la valeur propre ( - 1. 4. a) Montrer que (fl, f2, f3) est une base de . R3. Donner la matrice de (( dans cette base. b) Pour quelles. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de type fini qui admet au moins deux valeurs propres distinctes. Soit k un entier supérieur ou égal à 2, des valeurs propres distinctes de f et les sous-espaces propres associés. Alors la somme est directe, ce qui est noté. Preuve : cette propriété joue un rôle essentiel dans cette théorie. Sa preuve est basée sur une démonstration par.

Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieure

je connais une preuve différente, ca t'intéresse peut etre quand même. au lieu de passer par les matrices, je vais raisonner sur les endos. E euclidien, f endo auto-adjoint de E. Dans ces conditions, Sp( f ) est non-vide [je t'expliquerai comment montrer ça si tu ne vois pas]. On note µ1 µp les p valeurs propres distinctes de f, et on pose F = la somme des espaces propres associées. que et que ce polynôme admet au moins une racine réelle. III.A.3) Soit une droite vectorielle de , dirigée par un vecteur . Montrer que est stable par si et seulement si est vecteur propre de . Montrer qu'il existe au moins une droite stable par . III.A.4) On suppose que le réel est valeur propre de , le sous-espace propre associé étant , et valeur propre de , le sous-espace propre.

Endomorphismes symétriques et propriétés - Forum

DÉCOMPOSITION DE DUNFORD ET RÉDUCTION DE JORDAN 1. TRIGONALISATION 3 1.3. Exemple Exemple 2. Soit A= 0 @ 1 4 2 0 6 3 1 4 0 1 A2M 3(R). Démontrons que A est trigonalisable sur R et trouvons une matrice P telle que P 1AP soit triangu- laire supérieure. 1.Commençons par calculer le polynôme caractéristique de A: ˜A(X) = 1 X 4 2 0 6 2X 3 1 4 X = = (3 X)(2 X) Comme ˜A est scindé sur R, la. Polynôme caractéristique Exercice 28. Formules pour une matrice 3×3 Soit A= (a ij) ∈ M 3(R). 1) Vérifier que χ A(λ) = −λ3 +(trA)λ2 − a11 a12 a21 a22 a11 a13 a31 a33 a22 a23 a32 a33 λ+det(A). 2) Soit λune valeur propre de Aet L 1,L 2 deux lignes non proportionnelles de A− λI(s'il en existe). On calcule L= L 1 ∧ L 2 (produit vectoriel) et X= tL.Montrer que Xest vecteur.

Algèbre et valeurs propres - Futur

Définition et exemples de ces notions d'éléments propres d'un endomorphisme linéaire. Histoire de bien savoir de quoi on parle avant d'attaquer les calculs ;- Soient fun endomorphisme admettant un nombre pour valeur propre et P un polyn^ome. Peut-on dire que f 2admet pour valeur propre ? Que P(f) admet pour valeur propre P( )? 7. Soit f 2End(R4) de rang 2. L'endomorphisme f a-t-il toujours au moins une valeur propre? M^eme question si rang(f) = 4. 2. Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables sur R? sur C? Si oui, les diagonaliser. 0 @ 1 3.

dimension - forum de maths - 8441

Un endomorphisme d'un C-espace de dimension finie non nulle n a au au moins une valeur propre 2. DØmontrer que l™une, au moins, des valeurs propres de M est rØelle. 3. Soit M 2le carrØ de la matrice M: DØmontrer que pour tout i 2 J; i est valeur propre de M2: RØciproquement, si est une valeur propre de la matrice M2; dØmontrer que l™une au moins des racines carrØes (dans C) de est valeur propre de M (on pourra poser = !2 Pour tout endomorphisme f de E et toute valeur propre de f, on note E f( ) Montrer que 0 est valeur propre de f et que f admet au-moins une valeur propre non nulle. 2. (a) Soient et deux valeurs propres de f. Montrer, pour tout vecteur x de E f( ) et pour tout vecteur y de E f( ) : < x;y >= < x;y > (b) En dØduire que les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux. 3. Montrer. Montrer que si λest valeur propre de u, alors λ= 0. Q2 Montrer que Imuet Kerusont orthogonaux et suppl´ementaires dans E. En d´eduire que Keru= Ker(u2). Q3 Montrer que u2 est un endomorphisme sym´etrique de Eet que toute valeur propre de u2 est n´egative ou nulle. Q4 a) Montrer que u2 admet au moins une valeur propre non nulle $\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ Exercice 16 de la Banque CCINP (8 points

Valeur propre (synthèse) - Wikimond

A l'aide de la matrice de u et de v dans la base canonique de E, trouver les valeurs propres de ces endomorphismes (on ne cherchera pas les vecteurs propres). c. Quelle est la dimension des espaces propres de u et de v? d. Ces endomorphismes sont-ils diagonalisables ? 4. Soit u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension finie. a. Montrer que : ( ∃ k ∈ *, 0∈Sp (uk. Mais si λ est une valeur propre de f, il existe une infinit´e de vecteurs propres associ´es a λ : n = Xn est vecteur propre de f pour la valeur propre n. - L'endomorphisme f de C∞(IR,IR) d´efini par f(u) = u0 admet tout r´eel pour valeur propre. Pour tout r´eel λ, E λ est la droite vectorielle engendr´ee par u : x 7→exp(λx). Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net.

Trace d'un endomorphisme. Bonjour, je voulais vous faire part de mes avancées sur cet exercice posé à l'oral des mines, votre avis et votre aide, voici l'intitulé soit Q appartenant à Mn. 4 Trace d'un endomorphisme et d'une matrice. Notons d'abord que la notion de trace est hors programme mais très pratique... 4.1 Trace d'une matric Bonjour, Je travaille actuellement sur un exercice de. Montrer que f f est un endomorphisme de E qui est sym´etrique, c'est-`a-dire tel que < f f(x),y >=< x,f f(y) > pour tous x, y ∈ E. 4.b. Montrer que toute valeur propre de f f est un r´eel ≤ 0. 4.c. Montrer que f f admet au moins une valeur propre non nulle. 4.d. Montrer que la famille {x,f(x)} est libre pour tout vecteur propre x de f f associ´e `a une valeur propre non nulle. Pour tout endomorphisme f de E et toute valeur propre λ de f, on note E f(λ) Montrer que 0 est valeur propre de f et que f admet au-moins une valeur propre non nulle. 2)a) Soient λ et µ deux valeurs propres de f. Montrer, pour tout vecteur x de E f(λ) et pour tout vecteur y de E f(µ) : λhx,yi = µhx,yi b) En d´eduire que les sous-espaces propres de f sont deux a deux orthogonaux. 3. Le polynôme χ A admet au moins une racine λ 1 et celle-ci est alors valeur propre de A. Soit X 1 ∈ ℝ n + 1 un vecteur propre associé que l'on choisit unitaire. On complète celui-ci en une base orthonormée (X 1, X 2, , X n + 1) de ℝ n + Soit l une valeur propre de f. L'ensemble El =! u 2E; f(!u ) = l!u est appele´ sous-espace propre de f associe´ a la valeur` propre l. 2.2 Remarques - Langage Avec les notations prec´ edentes :´ 1. l'ensemble des valeurs propres de f est appele le´ spectre de f et il est note´ Sp(f). 2. Un sous-espace propre de f est un sous-espace vectoriel de E. 3. Les el´ ements´ propres d'un. Dans tout le sujet, — n désigne un entier naturel non nul et E un C-espace vectoriel de dimension n. —Si M 2M n(C), on note MT la transposée de M. —Si M est une matrice de M n(C), on définit la suite des puissances de M par M0 = In et, pour tout entier naturel k, par la relation Mk+1 = M Mk. —De même, si u est un endomorphisme de E, on définit la suite des puissances de u par u0.

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